Математики показали, что ни одна избирательная система не может идеально сбалансировать местное представительство, пропорциональные национальные результаты и парламент фиксированного размера, если в выборах участвует достаточное количество партий. Новый предложенный метод голосования мог бы смягчить эти неизбежные компромиссы и привести к результатам, гораздо более близким к справедливым.
Математики пришли к выводу, что абсолютно справедливая избирательная система невозможна в определённом математическом смысле. Ни один метод голосования не может всегда гарантировать, что победы на местных выборах приведут к получению мест в парламенте, что общее количество мест в парламенте будет точно отражать общую долю голосов, и что численность парламента останется неизменной.
Исследователи из Кембриджского и Копенгагенского университетов изучили системы пропорционального представительства и мажоритарной избирательной системы. Их анализ показал, что каждый метод избрания в национальный законодательный орган предполагает компромиссы, обычно между местным представительством, национальной пропорциональностью и общим количеством мест в парламенте.
Избирательные системы находятся под растущим давлением
Несколько выборов в Северной Европе за последнее десятилетие продемонстрировали эти противоречия. Проблема стала более очевидной, поскольку избиратели все чаще разделяют свою поддержку между большим количеством политических партий.
В Дании левый блок победил на выборах 2022 года, несмотря на то, что получил меньше голосов, чем правый блок, хотя в стране используется пропорциональное представительство. В Германии усилия по сохранению как местного представительства, так и пропорциональности привели к резкому расширению Бундестага до проведения реформ в 2023 году. В Великобритании всеобщие выборы 2024 года показали самый низкий пропорциональный результат за всю историю страны: лейбористы получили 63% мест, набрав 33,7% голосов.
Хотя полностью «справедливой» избирательной системы может и не существовать, исследователи утверждают, что страны все же могут более эффективно управлять конфликтом между региональным представительством, пропорциональностью и размером парламента. Результаты их исследования опубликованы в журнале Annals of Operations Research.
Выборы в Дании, которые послужили источником вдохновения для исследования.
Проект начался после национальных выборов в Дании в 2022 году, когда голоса и места в парламенте впервые за 75 лет не совпали.
Как и во многих европейских странах, в Дании используется двухступенчатая, или пропорциональная, система. Сначала избиратели выбирают местных представителей. Затем распределяются дополнительные «выравнивающие» места, чтобы приблизить долю мест в парламенте каждой партии к ее доле голосов на общенациональных выборах.
Однако по мере того, как политическая поддержка распределяется между большим количеством партий, требуется больше мест, обеспечивающих пропорциональное представительство. В 2022 году в Дании было 40 таких мест, но этого числа уже не хватало для достижения полностью пропорционального результата.
«По сути, это почти разрушило систему», — сказал соавтор исследования доктор Фредерик Равн Клаусен из Кембриджского факультета чистой математики и математической статистики. «В итоге социал-демократы получили на одно место больше, чем соответствовало их количеству голосов. Конечно, по британским меркам это ничто, но в двухуровневой системе такого быть не должно. Это усилило драматизм, поскольку именно это единственное место решило исход выборов».
Клаузен и его соавтор Себастьян Тим Холдум из Копенгагенского университета разработали теорему невозможности, показывающую, как растущая политическая фрагментация создает все большее напряжение в избирательных системах, последствия которого могут напрямую повлиять на то, кто будет управлять страной.
Три цели, которые не всегда могут сосуществовать.
Исследователи сравнили избирательные системы по всему миру, включая британскую мажоритарную систему и пропорциональные системы, используемые в большей части Европы.
Они выделили три ключевые особенности того, что многие сочли бы «справедливой» системой:
Региональный принцип: каждый, кто получает место в местном совете, сохраняет его за собой.
Пропорциональность: общее количество мест в национальном рейтинге соответствует доле голосов на национальном уровне.
Фиксированный размер парламента: количество мест не меняется от выборов к выборам.
«Мы обнаружили, что как только появляется определенное количество политических партий, один из этих трех компонентов должен уступить место, иначе математика просто не работает», — сказал Клаусен. «Это не коррупция или заговор, это просто математика».
Как страны идут на разные компромиссы
Правительства реагируют на это математическое ограничение, выбирая, какой принцип они готовы ослабить.
В Германии Бундестаг расширился с 598 до 736 мест в 2021 году, поскольку количество мест, необходимых для сохранения пропорциональной системы выборов, продолжало расти. Реформы, введенные в 2023 году, предотвратили неограниченное расширение законодательного органа, но также отменили гарантию того, что каждый победитель на местных выборах пройдет в парламент. Швеция входит в число стран, использующих аналогичный подход.
В Великобритании действует иной компромисс. В рамках мажоритарной избирательной системы принцип пропорциональности чаще всего приносится в жертву.
На протяжении большей части прошлого века британская политика функционировала в основном как двухпартийная система. По мере появления новых партий, получивших значительную поддержку по всему политическому спектру, разрыв между количеством голосов и мест в парламенте стал более заметным.
В 2024 году партия «Реформы Великобритании» получила 14,3% голосов на общенациональных выборах, но завоевала лишь пять из 650 мест в парламенте. Лейбористская партия, для сравнения, получила 411 мест, набрав 33,7% голосов.
«На следующих выборах в Великобритании разрыв между количеством голосов и количеством мест может быть еще больше», — сказал Клаусен.
Несколько бывших британских территорий унаследовали ту же избирательную модель и также сталкивались с давлением с целью ее изменения. Канада сохранила мажоритарную систему выборов, несмотря на неоднократные попытки реформ. Новая Зеландия приняла пропорциональную систему представительства в 1993 году, но Палата представителей Новой Зеландии не имеет фиксированного размера парламента.
Математическое предложение для более справедливых выборов
Клаусен и Холдум также предложили возможную альтернативу, подкрепленную их математическим анализом. Их алгоритм, называемый «географически ранжированная гарантированная пропорциональность», разработан для обхода некоторых ограничений, заложенных в существующих избирательных системах.
Согласно предложенному варианту, общее количество мест, которые получит каждая партия на национальных выборах, будет определяться исключительно ее общей долей голосов. Таким образом, партия, получившая 20% голосов, получит 20% мест, независимо от того, где эти голоса были поданы.
Затем отдельные избирательные округа ранжировались бы в зависимости от того, насколько успешно каждый кандидат показал себя на местном уровне. Места распределялись бы путем продвижения вниз по этому рейтингу до тех пор, пока каждая партия не заполнила бы выделенные ей национальные квоты.
Этот метод гарантировал бы пропорциональность, но ослабил бы региональный фактор. Кандидат мог бы с легкостью победить в местном избирательном округе и все равно не пройти в парламент, если его партия уже выполнила свою квоту, показав более высокие результаты в других местах.
Идеальных систем не существует, но лучшие системы возможны.
«Наши результаты показывают, что по мере того, как дискуссии о пропорциональном представительстве в Великобритании привлекают все больше внимания, идеальной системы не существует», — сказал Клаусен. «Однако можно сказать, что некоторые системы работают лучше, чем другие. То, что приходится жертвовать пропорциональностью, региональностью или фиксированным размером парламента, не является оправданием. Можно приблизительно соблюсти все три принципа, но во многих системах этого не происходит».
Полученные результаты свидетельствуют о том, что математические ограничения устранить невозможно, но они не мешают странам разрабатывать избирательные системы, которые более успешно уравновешивают три конкурирующие цели.
Фредерик Равн Клаузен — член Клер Холл, Кембридж.
Ссылка на статью в журнале :
Себастьян Тим Холдум, Фредерик Равн Клаусен. Теорема невозможности для двухуровневых избирательных систем . Анналы операционных исследований , 2026; DOI: 10.1007/s10479-026-07344-1
